게임 수학 (2) 벡터 스칼라

벡터: 평면에서 시각적으로 의미 있는 물체를 생성하려면 평면을 구성하는 원소를 정의해야한다. 이것을 벡터라고 한다.

 

데카르트 좌표계: 직선의 수 집합을 수직으로 배치해 평면을 표기하는 방식

곱집합의 원어: 데카르트 곱

->수평으로 배치한 첫 번째 실수 집합의 미지수를 x, 수직으로 배치한 두 번째 실수 집합의 미지수를 y로 표기하고 원점을 기준으로 x축의 오른편, y축의 위편을 양의 영역을 나타낸다.

->데카르트 좌표계의 한 원소는 곱집합과 동일하게 순서쌍으로 표현하며 좌표라고 부른다(coordinate)

 

벡터 공간: 두 개 이상의 실수를 곱집합으로 묶어 형성된 집합을 공리적 집합론의 관점에서 규정한 것

벡터: 벡터 공간의 원소

->공리적 집합론의 관점에서 특정한 수 집합을 지칭하지 않고 연산이 갖는 성질만 다루기 때문에, 좌표값으로 사용하는 x와 y의 실수로 규정하기보다는 체의 구조를 지니는 집합, 즉 체 집합의 원소로 규정함.

스칼라: 체의 구조를 가지는 수 집합의 원소

->우리가 좌표로 사용하는 실수 x와 y는 모두 공리적 집합론의 관점에서 스칼라이다.

벡터 공간을 표기할 때에는 대문자 V 이의 원소인 벡터는 소문자 v->로 표기

v->= (x,y)

 

벡터의 합 v1-> + v2-> = (x1,y1) + (x2,y2)

스칼라와 벡터의 곱 a * v-> = a*(x,y)

 

수의 크기는 원점으로부터의 거리를 의미하며 절대값 기호 ||를 사용해 구할 수 있다.

벡터의 크기도 동일하게 원점으로 부터 최단 거리를 의미하며 피타고라스 정리를 이용해 구할 수 있다.

예: x(4,0) y(0,3) 일때 벡터의 크기는 4*4 + 3*3 -> |루트 25| -> 5 ||v->|| =5

노름: 벡터의 크기를 부르는 용어

단위 벡터: 크기가 1인 벡터

->단위 벡터는 벡터의 크기를 측정하는 기준이며 모자 기호 hat을 쒸어 hat v형태로 표시

그렇다면 스칼라 곱셈의 성질을 이용해 벡터 v->를 이의 크기인 |v->|로 나누면 단위벡터 hat v를 얻을 수 있다.

if |v->| =5 일때 hat v = v->/ |v->| = v->/5 =1

벡터 v-> 크기가 1인 단위 벡터 hat v로 다듬는 작업을 정규화한다 (Normalize)라고 부른다. 

유니티와 언리얼엔진을 사용할때 받는 입력값을 정규화 하는이유.. 입력이 빠르기 때문에..!

 

선형 연산: 벡터 공간의 벡터의 합과 스칼라 곱셈 연산은 선형성에 있어 선형 연산이라고 한다.

선형 연산을 사용해 n개의 스칼라 a1, a2 ,a3 ...an n개의 벡터 v1->,v2->,v3-> ... vn-> 를 결합해 새로운 벡터 vnew-> 을 생성하는 수식을 선형 결합이라고 한다.

선형 결합의 수식은 다음과 같다.

a1v1->+ a2v2-> + a3v3-> ... anvn-> = vnew->

여기서 벡터의 모든 원소가 0으로 구성된 영벡터 0->를 생각했을때 선형 결합의 결과가 0->가 나오는 수식을

a1v1->+ a2v2-> + a3v3-> + ...anvn-> = 0->

 

벡터에 곱하는 모든 스칼라 값이 0이면 선형 결합의 결과는 항상 영벡터가 된다. 그런데 a의 값이 0이 아닌 경우에도 영벡터는 나올 수 있다.

2*(1,1) + (-1) * (2,2) = (0,0)

이 식과 같이 모든 a가 0이 아님에도 영벡터를 만들 수 있다면 선형 결합에 사용된 벡터는 서로 선형 종속의 관계를 가진다 라고 표현한다. 따라서 (1,1)과 (2,2)의 두 벡터는 선형 종속인 관계를 갖는다.

반면 영벡터가 나오기 위해서 모든 a값이 0이어야 한다면 선형 결합에 사용된 벡터들은 서로 현성 독립의 관계를 가진다 라고 표현한다.

(1,2)와 (2,1) 두 벡터가 결합할 때 영백터가 나올려면 모든 스칼라 a의 값은 0이어야한다. 따라서 (1,2)와 (2,1)의 두 벡터는 선형 독립의 관계를 갖는다.

 

벡터간의 선형적 관계는 벡터 공간을 다룰 떄 중요하게 사용되는데 선형 독립의 관계를 가지는 벡터를 선형 결합하면 벡터 공간에 속한 모든 벡터를 생성할 수 있다.

두 벡터 u->와 v-> 가 선형 독립의 관계를 가진다면 2차원 벡터 공간에 속한 모든 벡터를 생성할 수 있다.

선형 독립의 관계까 유지되려면 2개의 벡터만 사용되어야하며 평면의 모든 점을 생성하기 위한 선형 결합식에는 서로 평행하지 않은 2개의 벡터가 필요함을 알 수 있고, 두 벡터는 서로 선형 독립의 관계를 가져야 함을 확인할 수 있다.

 

기저: 벡터 공간 내 모든 벡터를 생성할 수 있는 선형 독립 관계를 가지는 벡터의 집합

(1,0) (0,1)도 선형 독립 관계를 가지므로 기저, 집합의 개념인 기저에 속한 원소를 기저벡터라고 한다.

(2,1) 벡터는 기저 B{(2,1), {1,3)}에 속한 기저벡터이다.

기저의 개념은 차원이라는 새로운 용어를 정의하는데 사용하고 기저 집합의 원소 수는 언제나 2개 뿐이다.

다양한 기저 중에서 한 축만 사용하는 단위 벡터 (1,0), (0,1)로 구성된 집합을 특별히 표준기저라고하며 기저의 각 원소를 표준기저벡터라고한다.